Question

已知a為實數，函數f(x)=

1

1-ax

，g（x）=（1+ax）e^x，記F（x）=f（x）•g（x）．
（1）若函數f（x）在點（0，1）處的切線方程為x+y-1=0，求a的值；
（2）若a=1，求函數g（x）的最小值；
（3）當a=-

1

2

時，解不等式F（x）＜1．

Answer 1

分析：（1）對f（x）進行求導，根據已知條件函數f（x）在點（0，1）處的切線方程為x+y-1=0，可得f′（0）=-1，可以求出a值；
（2）a=1代入g（x），對其進行求導，得到極值點，利用導數研究函數的單調性問題；
（3）把a=-

1

2

代入f（x）和g（x），從而得到F（x），再代入不等式F（x）＜1進行求解；

解答：解：（1）∵函數f(x)=

1

1-ax

，g（x）=（1+ax）e^x，可得
f′(x)=

a

(1-ax)2

，
∵f'（0）=a=-1，
所以a的值為-1；
（2）由g'（x）=e^x+（1+x）e^x=0得x=-2，
當x＜-2時，g'（x）＜0，g（x）在（-∞，-2）上單調遞減，
當x＞-2時，g'（x）＞0，g（x）在（-2，+∞）上單調遞增，
所以函數g（x）的最小值為g（-2）=-e^-2；
（3）當a=-

1

2

時，F(x)=

1

1+ 1 2 x

•(1-

1

2

x)ex＜1，
即

(2-x)ex

2+x

-1＜0，
設m(x)=

(2-x)ex

2+x

-1，
則m（0）=0，m′(x)=

-x2ex

(2+x)2

＜0，
所以m（x）的單調遞減區(qū)間是（-∞，-2）和（-2，+∞），
而當x＜-2時，總有

(2-x)ex

2+x

-1＜0成立，
所以不等式F（x）＜1的解集是（-∞，-2）∪（0，+∞）．

點評：此題主要考查利用導數研究函數單調性和最值問題，前兩問比較簡單，第三問考查解不等式，不是一元二次不等式，可以根據導數進行求解，是一道中檔題；