Question

（2012•楊浦區(qū)一模）已知△ABC的三個頂點在拋物線Γ：x²=y上運動．
（1）求Γ的焦點坐標；
（2）若點A在坐標原點，且∠BAC=

π

2

，點M在BC上，且

AM

•

BC

= 0，求點M的軌跡方程；
（3）試研究：是否存在一條邊所在直線的斜率為

2

的正三角形ABC，若存在，求出這個正三角形ABC的邊長，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的方程，可得拋物線的焦點在y軸上，開口向上，故可得焦點坐標；
（2）設點M的坐標為（x，y），設出AB、AC方程與拋物線方程聯(lián)立，確定B、C的坐標，從而可得BC的方程，利用

AM

•

BC

=0，即可求得點M的軌跡方程；
（3）設A、B、C的坐標，求得△ABC的三邊所在直線的斜率，若AB邊所在直線的斜率為

2

，AB邊所在直線和x軸的正方向所成角為α（0°＜α＜90°），則tanα=

2

，得出坐標之間的關系，即可求得|AB|．

解答：解：（1）由x²=y可得焦點在y軸的正半軸上，且2p=1，所以，焦點坐標為（0，

1

4

） 　　　　　　　　…（3分）
（2）設點M的坐標為（x，y），AB方程為y=kx，由∠BAC=

π

2

得AC方程為y=-

1

k

x，則

y=kx y=x2

得B（k，k²），同理可得C（-

1

k

，

1

k2

）
∴BC方程為y-k²=

k2- 1 k2

k+ 1 k

(x-k)恒過定點P（0，1），…（10分）
∴

AM

=(x，y)，

MN

=(-x，1-y)
∵

AM

•

BC

=0
∴

AM

•

MN

=0，
所以，-x×x+y（1-y）=0，即y²+x²-y=0（x≠0）
（3）設A（p，p²），B（q，q²），C（r，r²），△ABC的三邊所在直線AB，BC，CA的斜率分別是p+q，q+r，r+p------①…（12分）
若AB邊所在直線的斜率為

2

，AB邊所在直線和x軸的正方向所成角為α（0°＜α＜90°），則tanα=

2

，
所以

q+r=tan(α-60°) r+p=tan(α+60°)

                                         …（14分）
∴q-p=tan（α-60°）-tan（α+60°）=

6 3

5

-----②
又p+q=tanα=

2

--------------③…（16分）
所以，|AB|=

(q-p)2+(q2-p2)2

=

18

5

  …（18分）

點評：本題考查拋物線的性質，考查軌跡方程的求解，考查向量知識的運用，考查直線的斜率的計算，綜合性強．