Question

5．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（1$，\;\frac{1}{2}}$）到拋物線(xiàn)C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為$\frac{5}{4}$，點(diǎn)M（t，1）（t＞0）是C上的定點(diǎn)，A、B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)Q（m，n）在線(xiàn)段OM上．
（1）拋物線(xiàn)C的方程及t的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)A、B分別在第一、四象限時(shí)，求k_OA•k_OB的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程，由題意可得1+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{4}$，解得p，可得拋物線(xiàn)的方程；代入M的坐標(biāo)，可得t的值；
（2）求得Q的坐標(biāo)，設(shè)出直線(xiàn)AB的方程，代入拋物線(xiàn)的方程，消去x，可得y的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得m的范圍，運(yùn)用直線(xiàn)的斜率公式，化簡(jiǎn)整理配方，由二次函數(shù)的值域可得所求范圍．

解答 解：（1）拋物線(xiàn)C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)是$x=-\frac{p}{2}$，
所以$1+\frac{p}{2}=\frac{5}{4}$，解得$p=\frac{1}{2}$，
所以?huà)佄锞�(xiàn)C的方程為y²=x．            
又點(diǎn)M（t，1）（t＞0）在曲線(xiàn)上，所以t=1．         
（2）由（1）知，M（1，1），
可得直線(xiàn)OM的方程為y=x，故m=n，
即點(diǎn)Q（m，m）．          
由題意，直線(xiàn)AB的斜率存在且不為0，
設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y-m=k（x-m），
由$\left\{\begin{array}{l}y-m=k（x-m）\;\\{y^2}=x\end{array}\right.$消去x，
得ky²-y+m-km=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${y_1}+{y_2}=\frac{1}{k}$，${y_1}{y_2}=\frac{m}{k}-m$，
由線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為Q，
可得y₁+y₂=2m，所以$k=\frac{1}{2m}$，m＞0，
由${y_1}{y_2}=2{m^2}-m＜0$，得$0＜m＜\frac{1}{2}$，
所以${k_{OA}}•{k_{OB}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{1}{{{y_1}{y_2}}}=\frac{1}{{2{m^2}-m}}=\frac{1}{{2{{（{m-\frac{1}{4}}）}^2}-\frac{1}{8}}}$，
因?yàn)?0＜m＜\frac{1}{2}$，所以2m²-m的取值范圍是$[{-\frac{1}{8}\;，\;0}）$，
故k_OA•k_OB的取值范圍是（-∞，-8]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的方程的求法，注意讀懂直線(xiàn)的距離公式，考查直線(xiàn)的斜率的乘積的范圍，注意聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線(xiàn)的斜率公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．