已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在平行于OA的直線l,使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn),且直線OA與l的距離等于4?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.
分析:(1)先設(shè)出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程,進(jìn)而根據(jù)焦點(diǎn)和橢圓的定義求得c和a,進(jìn)而求得b,則橢圓的方程可得.
(2)先假設(shè)直線存在,設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y,進(jìn)而根據(jù)判別式大于0求得t的范圍,進(jìn)而根據(jù)直線OA與l的距離求得t,最后驗(yàn)證t不符合題意,則結(jié)論可得.
解答:解:(1)依題意,可設(shè)橢圓C的方程為
+=1(a>0,b>0),且可知左焦點(diǎn)為
F(-2,0),從而有
,解得c=2,a=4,
又a
2=b
2+c
2,所以b
2=12,故橢圓C的方程為
+=1.
(2)假設(shè)存在符合題意的直線l,其方程為y=
x+t,
由
得3x
2+3tx+t
2-12=0,
因?yàn)橹本l與橢圓有公共點(diǎn),所以有△=(3t)
2-4×3(t
2-12)≥0,解得-4
≤t≤4
,
另一方面,由直線OA與l的距離4=
,從而t=±2
,
由于±2
∉[-4
,4
],所以符合題意的直線l不存在.
點(diǎn)評:本小題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.