Question

f（x）=x^k+2bx+c（k∈N^*，b，c∈R），g（x）=a^x（a＞0，a≠1）．
（1）若2b+c=1，且f（1）=g（

1

2

），求a的值；
（2）若k=2，b≥0記函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值為M，最小值為N，當(dāng)M-N=4時，求b的取值范圍；
（3）判斷是否存在大于1的實數(shù)a，使得對任意實數(shù)x₁∈[a，2a]，都有x₂∈[a，a²]滿足g（x₁）•g（x₂）=p，且滿足該等式的p的值唯一，若存在，求出所有符合條件的a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）帶入得到關(guān)于a的方程解之；
（2）k=2，b≥0說明函數(shù)是二次函數(shù)，討論對稱軸x=-b與區(qū)間的位置關(guān)系，確定最值，得到關(guān)于b的方程，解之；
（3）將等式g（x₁）•g（x₂）=p變形得g(x1)=

p

g(x2)

，由x₁，x₂的范圍，得到g（x₁）、g（x₂）的范圍，利用對任意實數(shù)x₁∈[a，2a]，都有x₂∈[a，a²]得到[aa，a2a]⊆[

p

aa2

，

p

aa

]解得即可．

解答： 解：（1）∵2b+c=1，且f（1）=g（

1

2

），∴1+2b+c=a

1

2

，∴a=4；
（2）k=2時，f（x）=x²+2bx+c，所以
當(dāng)對稱軸x=-b≤-1時，M=f（1）=1+2b+c，N=1-2b+c，M-N=4b=4，解得b=1；
當(dāng)對稱軸-1＜-b≤0時，M=f（1）=1+2b+c，N=f（-b）=c-b²，M-N=2b+1+b²=0，所以b=-1．舍去；
所以b=1．
（3）將等式g（x₁）•g（x₂）=p變形得g(x1)=

p

g(x2)

，由任意實數(shù)x₁∈[a，2a]，都有x₂∈[a，a²]得到[aa，a2a]⊆[

p

aa2

，

p

aa

]∴

aa≥ p aa2 a2a≤ p aa

，解得a²+a=3a，∴a=2．

點評：本題考查了二次函數(shù)閉區(qū)間的最值的求法問題以及存在性問題的處理方法．