Question

設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為,且.對(duì)一切實(shí)數(shù),不等式恒成立(≠0).
(1) 求的值；
(2) 求函數(shù)的表達(dá)式；
(3) 求證:＞．

Answer 1

(1)  (2)  (3) 要證原不等式，即證因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240139071931124.png" style="vertical-align:middle;" />
所以
=所以

試題分析：（1）由，所以     2分
（2），由，得    3分
                4分
又恒成立，則由恒成立得
，                6分
同理由恒成立也可得:       7分
綜上，，所以       8分
（3）
要證原不等式，即證
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240139077391135.png" style="vertical-align:middle;" />
所以
=
所以                12分
本小問(wèn)也可用數(shù)學(xué)歸納法求證。證明如下：
由
當(dāng)時(shí)，左邊=1，右邊=，左邊>右邊，所以，不等式成立
假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即
當(dāng)時(shí)，
左邊=
由
所以
即當(dāng)時(shí)，不等式也成立。綜上得
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)求解析式采用的是待定系數(shù)法，由已知條件找到的關(guān)系式，期間將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)性質(zhì)的考察，第三問(wèn)在證明不等式時(shí)用到了放縮法，這種方法對(duì)學(xué)生有一定的難度