Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），對(duì)任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．
（Ⅰ）證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤（x+c）²；
（Ⅱ）若對(duì)滿(mǎn)足題設(shè)條件的任意b，c，不等式f（c）-f（b）≤M（c²-b²）恒成立，求M的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）f′（x）≤f（x）轉(zhuǎn)化為x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，找到b和c之間的關(guān)系，再對(duì)f（x）和（x+c）²作差整理成關(guān)于b和c的表達(dá)式即可．
（Ⅱ）對(duì)c≥|b|分c＞|b|和c=|b|兩種情況分別求出對(duì)應(yīng)的M的取值范圍，再綜合求M的最小值即可．
解答：解：（Ⅰ）易知f'（x）=2x+b．由題設(shè)，對(duì)任意的x∈R，2x+b≤x²+bx+c，
即x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，所以（b-2）²-4（c-b）≤0，從而．
于是c≥1，且，因此2c-b=c+（c-b）＞0．
故當(dāng)x≥0時(shí)，有（x+c）²-f（x）=（2c-b）x+c（c-1）≥0．
即當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤（x+c）²．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，c≥|b|
當(dāng)c＞|b|時(shí)，有M≥==，
令t=則-1＜t＜1，=2-，
而函數(shù)g（t）=2-（-1＜t＜1）的值域（-∞，）
因此，當(dāng)c≥|b|時(shí)M的取值集合為[，+∞）．
當(dāng)c=|b|時(shí)，由（Ⅰ）知，b=±2，c=2．
此時(shí)f（c）-f（b）=-8或0，c²-b²=0，
從而恒成立．
綜上所述，M的最小值為
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題和導(dǎo)函數(shù)的求法的綜合考查．二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題一般分兩類(lèi)，一是大于0恒成立須滿(mǎn)足開(kāi)口向上，且判別式小于0，二是小于0恒成立須滿(mǎn)足開(kāi)口向下，且判別式小于0．