Question

如圖，在四面體ABCD中，O是BD的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-CD-B的正切值；
（Ⅲ）求點E到平面ACD的距離．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）法1：求二面角A-CD-B的平面角，然后根據(jù)邊角關(guān)系即可得到二面角的正切值；
法2：建立坐標(biāo)系，求出法向量，利用向量法即可得到結(jié)論．
（Ⅲ）方法1：利用等積法求點E到平面ACD的距離．
方法2．利用向量法求距離．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)OC，
∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD．
∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=

3

．
而AC=2，∴AO²+CO²=AC²，∴∠AOC=90°，
即AO⊥OC．
∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD，
（Ⅱ）作OF⊥CD于F，連AF，
由（1）知，AO⊥CD，故CD⊥平面AOF，
∴CD⊥AF，∴∠AFO是二面角A-CD-B的平面角，
易知OF=

3

2

，∴tan∠AFO=

2 3

3

．
即所求二面角A-CD-B的正切值為

2 3

3

．
（Ⅲ）設(shè)點E到平面ACD的距離為h．
∵V_E-ACD=V_A-CDE，∴

1

3

h．S△ACD=

1

3

．AO．S△CDE．
在△ACD中，CA=CD=2，AD=

2

，
∴S△ACD=

1

2

×

2

×

22-( 2 2 )2

=

7

2

．
而AO=1，S△CDE=

1

2

×

3

4

×22=

3

2

，
∴h=

AO．S△CDE

S△ACD

=

1× 3 2

7 2

=

21

7

．
∴點E到平面ACD的距離為

21

7

．
方法二：（Ⅰ）同方法一．
（Ⅱ）解：以O(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B（1，0，0），D（-1，0，0），
（Ⅲ）解：設(shè)平面ACD的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n . AD =(x，y，z)．(-1，0，-1)=0 n . AC =(x，y，z)．(0， 3 ，-1)=0

，
∴

x+z=0 3 y-z=0.

令y=1，得

n

=(-

3

，1，

3

)是平面ACD的一個法向量，又

EC

=(-

1

2

，

3

2

，0)，
∴點E到平面ACD的距離h=

| EC . n |

| n |

=

3

7

=

21

7

．

點評：本題主要考查空間直線和平面垂直的判斷，以及空間二面角和距離的計算，利用定義法或向量法是解決本題的關(guān)鍵．