Question

已知數列{a_n}是首項為1，公差為d的等差數列；數列{b_n}是公比為2的等比數列，且{b_n}的前4項的和為

15

2

．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）若d=3，求數列{a_n}中滿足b₈≤a_i≤b₉（i∈N^*）的所有項a_i的和；
（3）設數列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n，數列{c_n}的前n項和為T_n，若T_n的最大值為T₅，求公差d的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的求和,數列的應用

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件得b₁+2b₁+4b₁+8b₁=

15

2

，由此能求出b_n=2^n-2．
（2）b₈=2⁶=64，b₉=2⁷=128，a_n=3n-2，由b₈≤a_i≤b₉（i∈N^*），得64≤3i-2≤128，從而得到22≤i≤43，由此能求出滿足條件的所有項a_i的和．
（3）由已知條件得c_n=a_n•b_n＞0，此時T_n無最大項，d＜0，{a_n}單調遞減，由此能求出公差d的取值范圍．

解答： 解：（1）∵數列{b_n}是公比為2的等比數列，且{b_n}的前4項的和為

15

2

．
b₁+2b₁+4b₁+8b₁=

15

2

，
解得b₁=

1

2

，
∴b_n=2^n-2．…（5分）
（2）b₈=2⁶=64，b₉=2⁷=128，
∵數列{a_n}是首項為1，公差為3的等差數列，
∴a_n=3n-2
∵b₈≤a_i≤b₉（i∈N^*），∴64≤3i-2≤128，
解得，22≤i≤

130

3

，
又i屬于N^*，22≤i≤43，
a₂₂=64，a₄₃=127，
∴S=a₂₂+a₂₃+…+a₄₃
=

22

2

（64+127）=2101，
∴滿足條件的所有項a_i的和為2101．…（12分）
（3）∵bn=2n-1＞0，若d≥0，則a_n＞0，
∴c_n=a_n•b_n＞0，此時T_n無最大項，
∴d＜0，…（12分）
此時{a_n}單調遞減，欲T_n的最大項為T₅，
則必有c₅≥0，c₆≤0，即a₅≥0，a₆≤0，…（14分）
又a_n=1+（n-1）d，∴

1+4d≥0 1+5d≤0

，
解得-

1

4

≤d≤-

1

5

．…（16分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．