已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的右焦點(diǎn)為F，P是第一象限內(nèi)C上的點(diǎn)，Q為雙曲線左準(zhǔn)線上的點(diǎn)，若OP垂直平分FQ，則雙曲線的離心率e的取值范圍是
 
．
考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：OP垂直平分FQ，O到F和Q的距離相等，即c2=
a4
c2
+p2，求出OP所在直線方程，直線必與雙曲線相交，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均大于零，即可得出結(jié)論．
解答： 解：右焦點(diǎn)F（c，0），左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)B，
設(shè)P（m，n），m＞0，n＞0，m、n滿足
m2
a2
-
n2
b2
=1①
左準(zhǔn)線方程x=-
a2
c
，令Q（-
a2
c
，p）
OP垂直平分FQ，O到F和Q的距離相等，即c2=
a4
c2
+p2②
設(shè)FQ中點(diǎn)A，則A（
b2
2c
，
p
2
），OP所在直線方程：y=
pc
b2
x
由②得：p=
b
c2+a2
c
則有y=
c2+a2
b
x③
該直線必與雙曲線相交，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均大于零
將③代入①式：x2（
1
a2
-
c2+a2
b4
）-1=0，
∴2（
a
b
）4+（
a
b
）2-1＞0
∴（
a
b
）2＞
1
2
，
∴e=
c
a
=
1+
b2
a2
＞
3
，
故答案為：e＞
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（1，2），點(diǎn)P（x，y）滿足約束條件
x+|y|≤1
x≥0
，則Z=
OA
•
OP
的最大值為（　�。�
A、-2B、-1C、1D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線過(guò)點(diǎn)（3，-2）且與橢圓4x2+9y2=36有相同的焦點(diǎn)．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)M在雙曲線上，F(xiàn)1、F2為左、右焦點(diǎn)，且|MF1|=2|MF2|，試求△MF1F2的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知sinθ+cosθ=-
5
3
，則cos（2θ-
7π
2
）的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示折線段ABC，其中A、B、C的坐標(biāo)分別為（0，4），（2，0），（6，4）．
（1）若一拋物線g（x）恰好過(guò)A，B，C三點(diǎn)，求g（x）的解析式．
（2）函數(shù)f（x）的圖象剛好是折線段ABC，求f（f（0））的值和函數(shù)f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+x+c（其中a，c是實(shí)數(shù)且為常數(shù)）．
（1）若f（x）＞2x的解集為{x|-2＜x＜1}，求a和c的值；
（2）解不等式f（x）＜（3-a）x+2+c．（審題注意：第一問(wèn)結(jié)論不能用于第二問(wèn)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

不等式ax2+ax+1＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則a的范圍用區(qū)間表示為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，若實(shí)數(shù)x，y滿足
x≤1
|y|≤x
x2+y2-4x+2≥0
，此不等式組表示的平面區(qū)域的面積是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足
lna
b
=
c+3
d
=1，則（a-c）2+（b-d）2的最小值為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案