Question

已知點P為橢圓

x2

20

+

y2

15

=1上一點，A、B為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上不同的兩點，且

OP

=2

OA

+

OB

，若OA、OB所在的直線的斜率為k₁、k₂，則k₁•k₂=

-

3

4

．

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．利用點與橢圓的關(guān)系可得

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，

x 2 0

20

+

y 2 0

15

=1．再利用向量的運算

OP

=2

OA

+

OB

，可得

x0=2x1+x2 y0=2y1+y2

，代入點P滿足的橢圓方程即可得出．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．
則

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，

x 2 0

20

+

y 2 0

15

=1．
∵

OP

=2

OA

+

OB

，∴

x0=2x1+x2 y0=2y1+y2

，代入上述方程得

(2x1+x2)2

20

+

(2y1+y2)2

15

=1，
∴

4

5

(

x 2 1

4

+

y 2 1

3

)+

1

5

(

x 2 2

4

+

y 2 2

3

)+

4

5

(

1

4

x1x2+

1

3

y1y2)=1，
∴

4

5

+

1

5

+

4

5

(

1

4

x1x2+

1

3

y1y2)=1，
得

y1y2

x1x2

=-

3

4

．
故答案為-

3

4

．

點評：熟練掌握點與橢圓的關(guān)系、向量的運算與相等、斜率的計算公式等是解題的關(guān)鍵．