Question

18．已知函數(shù)f（x）=cos²x-2sinxcosx-sin²x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求f（x）的最小值及取得最小值時x的值．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)進行化簡，結合三角函數(shù)的圖象和性質即可求函數(shù)y=f（x）圖象的最小正周期；
（2）根據(jù)x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求出f（x）的范圍，結合三角函數(shù)的圖象和性質即可求f（x）的最小值及取得最小值時x的值．

解答 解：f（x）=cos²x-2sinxcosx-sin²x=cos2x-sin2x=$\sqrt{2}cos（2x+\frac{π}{4}）$
（1）最小正周期$T=\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}=π$
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]即$0≤x≤\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$；
結合三角函數(shù)的圖象和性質：$2x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$時，$f（x）min=\sqrt{2}cos\frac{5π}{4}=-1$
由：$2x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$，解得x=$\frac{π}{2}$．
∴當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）的最小值為-1，取得最小值時x的值為$\frac{π}{2}$．
故：f（x）的最小正周期為π；x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）的最小值為-1，取得最小值時x的值為$\frac{π}{2}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．