Question

在等腰梯形PDCB（圖1）中，DC∥PB，PB=3DC=3，PD=

2

，DA⊥PB，垂足為A，將△PAD沿AD折起，使得PA⊥AB，得到四棱錐P-ABCD（圖2）．在圖2中完成下面問(wèn)題：
（1）證明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）點(diǎn)M在棱PB上，平面AMC把四棱錐P-ABCD分成兩個(gè)幾何體（如圖2），當(dāng)這兩個(gè)幾何體的體積之比V_PM-ACDV_M-ABC=5：4時(shí)，求

PM

MB

的值；
（3）在（2）的條件下，證明：PD‖平面AMC．

Answer 1

分析：（1）由圖1中DA⊥PB，可得折疊后DA⊥AB，DA⊥PA，進(jìn)而DC⊥PA，DC⊥DA，由線面垂直的判定定理得到DC⊥平面PAD，再由面面垂直的判定定理得到平面PAD⊥平面PCD；
（2）設(shè)MN=h，則可得V_M-ABC=

h

3

，V_P-ABCD=

1

2

，則V_PM-ABCD=V_P-ABCD-V_M-ABC=

1

2

-

h

3

，結(jié)合V_PM-ABCD：V_M-ABC=5：4，可求出h值，進(jìn)而得到

PM

MB

的值；
（3）在梯形ABCD中，連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接OM．易知△AOB∽△DOC，所以在平面PBD中，有PD∥MO，進(jìn)而由線面平行的判定定理得到答案．

解答：證明：（1）因?yàn)樵趫Da的等腰梯形PDCB中，DA⊥PB，
所以在四棱錐P-ABCD中，DA⊥AB，DA⊥PA．…（1分）
又PA⊥AB，且DC∥AB，所以DC⊥PA，DC⊥DA，…（2分）
而DA?平面PAD，PA?平面PAD，PA∩DA=A，
所以DC⊥平面PAD．…（3分）
因?yàn)镈C?平面PCD，
所以平面PAD⊥平面PCD．…（4分）
解：（2）因?yàn)镈A⊥PA，且PA⊥AB
所以PA⊥平面ABCD，
又PA?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面ABC．
如圖，過(guò)M作MN⊥AB，垂足為N，
則MN⊥平面ABCD．…（5分）
在等腰梯形PDCB中，DC∥PB，
PB=3DC=3，PD=

2

，DA⊥PB，
所以PA=1，AB=2，AD=

PD2-PA2

=1．…（6分）
設(shè)MN=h，則V_M-ABC=

1

3

S_△ABC•h=

h

3

．…（7分）
V_P-ABCD=

1

3

S_梯形ABCD•PA=

1

2

V_PM-ABCD=V_P-ABCD-V_M-ABC=

1

2

-

h

3

．…（8分）
因?yàn)閂_PM-ABCD：V_M-ABC=5：4，
所以（

1

2

-

h

3

）：

h

3

=5：4，解得h=

2

3

．…（9分）
在△PAB中，

BM

BP

=

MN

PA

=

2

3

，所以BM=

2

3

BP，MP=

1

3

BP．
所以PM：MB=1：2．…（10分）
（3）在梯形ABCD中，連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接OM．
易知△AOB∽△DOC，所以

DO

OB

=

DC

AB

=

1

2

．…（11分）
又PM：MB=1：2，所以

DO

OB

=

PM

MB

，…（12分）
所以在平面PBD中，有PD∥MO．…（13分）
又因?yàn)镻D?平面AMC，MO?平面AMC，
所以PD∥平面AMC．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，棱錐的體積，熟練掌握空間線面關(guān)系的判定定理，性質(zhì)定理及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．