Question

已知定義在R上的奇函數f（x）和偶函數g（x）滿足f（x）+g（x）=2^x，若不等式af（x）+g（2x）≥0對x∈（0，1]恒成立，則實數a的取值范圍是________．

Answer 1

分析：先根據函數奇偶性定義，解出奇函數f（x）和偶函數g（x）的表達式，將這個表達式不等式af（x）+g（2x）≥0，通過變形可得，再通過換元，討論出右邊在x∈（0，1]的最大值，可以得出實數a的取值范圍．
解答：∵f（x）為定義在R上的奇函數，g（x）為定義在R上的偶函數
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
又∵由f（x）+g（x）=2^x，結合f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=2^-x，
∴f（x）=（2^x-2^-x），g（x）=（2^x+2^-x）
不等式af（x）+g（2x）≥0，化簡為
∵0＜x＜1
∴0＜2^x＜2-2^-x＜1
因此將上面不等式整理，得：
令t=2^x-2^-x，則t＞0
∴
因此，實數a的取值范圍是a
故答案為
點評：本題以指數型函數為載體，考查了函數求表達式以及不等式恒成立等知識點，屬于難題．合理地利用函數的基本性質，再結合換元法和基本不等式的技巧，是解決本題的關鍵．