在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=AA₁=4，點D是AA₁的中點，則點A₁到平面DBC₁的距離是

A.
$數(shù)學公式$
B.
$數(shù)學公式$
C.
$數(shù)學公式$
D.
$數(shù)學公式$

A
分析：以AC為y軸，以AA₁為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=AA₁=4，點D是AA₁的中點，知 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（0，4，2）， $\text{[math]}$ ，設平面BDC₁的法向量為 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，由此能求出點A₁到平面DBC₁的距離．
解答：

解：以AC為y軸，以AA₁為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=AA₁=4，點D是AA₁的中點，
∴B（2 $\text{[math]}$ ，2，0），C₁（0，4，4），D（0，0，2），A₁（0，0，4），
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（0，4，2）， $\text{[math]}$ ，
設平面BDC₁的法向量為 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴點A₁到平面DBC₁的距離d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故選A．
點評：本題考查空間中點、線、面間距離的計算，解題時要認真審題，合理地運用向量法進行求解，向量法求點到面的距離是向量的一個重要運用．

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．
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（3）定義：如果平面α經(jīng)過線段AA′的中點，并與線段AA′垂直，則稱點A關于平面α的對稱點為點A′．設點A關于平面PBC的對稱點為A′，求：點A′到平面AMC₁的距離．

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