以F1(-2
2
,0),F(xiàn)2(2
2
,0)為焦點(diǎn)的橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(
2
,
30
3
),斜率為1的直線l與E相交于A、B兩點(diǎn),以AB為底邊作等腰三角形,頂點(diǎn)為P(-3,2)
(1)求E的方程;
(2)求l的方程.
分析:(1)根據(jù)橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo),可知c=2
2
,利用橢圓的定義可求出a的值,再根據(jù)b2=a2-c2求出b的值,即可求出橢圓E的方程;
(2)設(shè)出直線l的方程和點(diǎn)A,B的坐標(biāo),聯(lián)立方程,消去y,根據(jù)等腰△PAB,求出直線l方程.
解答:解:(1)由已知得,c=2
2
,
又2a=MF1+MF2=4
3

解得a=2
3
,又b2=a2-c2=4,
所以橢圓E的方程為
x2
12
+
y2
4
=1

(2)設(shè)直線l的方程為y=x+m,
y=x+m
x2
12
+
y2
4
=1
得4x2+6mx+3m2-12=0.①
設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB的中點(diǎn)為E(x0,y0),
則x0=
x1+x2
2
=-
3m
4
,
y0=x0+m=
m
4
,
因?yàn)锳B是等腰△PAB的底邊,
所以PE⊥AB,
所以PE的斜率k=
2-
m
4
-3+
3m
4
=-1,
解得m=2.
故l的方程為:y=x+2.
點(diǎn)評(píng):此題是個(gè)中檔題.考查待定系數(shù)法求橢圓的方程和橢圓簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì),以及直線與橢圓的位置關(guān)系,同時(shí)也考查了學(xué)生觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C以F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)為焦點(diǎn),且離心率e=
2
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程
(Ⅱ)過(guò)M(0 , 
2
)
點(diǎn)斜率為k的直線l1與橢圓C有兩個(gè)不同交點(diǎn)P、Q,求k的范圍
(Ⅲ)設(shè)橢圓C與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B,是否存在直線l1,滿足(Ⅱ)中的條件且使得向量
OP
+
OQ
AB
垂直?如果存在,寫(xiě)出l1的方程;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1以F1(-2,0)和F2(2,0)為焦點(diǎn),離心率e=
2
2

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過(guò)作斜率為1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),∠AOB=90°,求弦AB的長(zhǎng);并求△AOB的面積.(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),以F1(-c,0)為圓心,以a-c為半徑作圓F1,過(guò)點(diǎn)B2(0,b)作圓F1的兩條切線,設(shè)切點(diǎn)為M、N.
(1)若過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)M、N的直線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1(0,-b)時(shí),求此橢圓的離心率;
(2)若直線MN的斜率為-1,且原點(diǎn)到直線MN的距離為4(
2
-1),求此時(shí)的橢圓方程;
(3)是否存在橢圓E,使得直線MN的斜率k在區(qū)間(-
2
2
,-
3
3
)內(nèi)取值?若存在,求出橢圓E的離心率e的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1以F1(-2,0)和F2(2,0)為焦點(diǎn),離心率e=
2
2

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過(guò)作斜率為1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),∠AOB=90°,求弦AB的長(zhǎng);并求△AOB的面積.(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))

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