Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+λ，x＜1}\\{{2}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$（λ∈R），若對任意的a∈R都有f（f（a））=2^f（a）成立，則λ的取值范圍是（　　）

• A． （0，2]
• B． [0，2]
• C． （-∞，2）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)解析式的特點，分類討論求出函數(shù)f（x）的值域，再求出f（f（a））和2^f（a）成立，即可求出λ的取值范圍

解答 解：方法一：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+λ，x＜1}\\{{2}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$（λ∈R），
任意的a∈R都有f（f（a））=2^f（a）成立，
∴f（a））≥1恒成立
∴λ-1≥1即可，
∴λ≥2，
方法二：當(dāng)x＜1時，f（x）＞f（1）=λ-1，
當(dāng)x≥1時，f（x）=2^x，f（x）≥2¹=2，
當(dāng)λ-1≥2時，即λ≥3時，f（x）≥2，
當(dāng)λ-1＜2時，即λ＜3時，f（x）≥λ-1，
∴①當(dāng)λ≥3時，2^f（a）∈[4，+∞），f（f（a））≥2²=4
∴f（f（a））=2^f（a）恒成立
②當(dāng)λ＜3時，2^f（a）∈[2^λ-1，+∞），
當(dāng)2≤λ＜3時，f（f（a））≥2^λ-1，
∴f（f（a））=2^f（a）恒成立，
當(dāng)λ＜2時，f（f（a））=-（λ-1）+λ=1，
f（f（a））=2^f（a）不恒成立，
綜上所述λ≥2，
故選：D

點評 本題考查了不等式式恒成立的問題，以及參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵是求出函數(shù)的值域，屬于中檔題