Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（6sinx+cosx，7sinx-2cosx）．設函數f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數f（x）的最大值單遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在角A為銳角的△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，f（A）=6，且△ABC的面積為3，b+c=2+3

2

，求a的值．

Answer 1

考點：余弦定理,兩角和與差的正切函數,三角形中的幾何計算,三角函數的最值

專題：計算題,三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（Ⅰ）首先，結合平面向量的數量積的坐標運算，得到函數的解析式，然后，借助于二倍角公式化簡函數解析式，f（x）=4

2

sin（2x-

π

4

）+2，然后，根據三角函數的圖象和性質求解；
（Ⅱ）根據f（A）=6得到A=

π

4

，然后，根據三角形的面積和b+c=2+3

2

，構造等式，結合余弦定理求解a的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

•

b

=sinx（6sinx+cosx）+cosx（7sinx-2cosx）
=6sin²x-2cos²x+8sinxcosx
=4sin2x-4cos2x+2
=4

2

sin（2x-

π

4

）+2，
令2x-

π

4

=

π

2

+2kπ（k∈Z），
得x=

3π

8

+kπ（k∈Z），
∴f（x）max=4

2

+2，
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）可解得：kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

（k∈Z）
∴單遞增區(qū)間為[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，（k∈Z）
（Ⅱ）由（I）可得f（A）=4

2

sin（2A-

π

4

）+2=6，
∴sin（2A-

π

4

）=

2

2

．
∵0＜A＜

π

2

，
∴-

π

4

＜2A-

π

4

＜

3π

4

．
從而2A-

π

4

=

π

4

，
∴A=

π

4

，
又∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

2

4

bc=3，
∴bc=6

2

，
又b+c=2+3

2

，
∴a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-2bc×

2

2

=（2+3

2

）2-12

2

-2×6

2

×

2

2

=10，
∴a=

10

．

點評：本題綜合考查了平面向量的基本運算、二倍角公式、三角恒等變換公式、三角形的面積公式、余弦定理等知識，屬于中檔題．