已知圓錐曲線C：
x2
16
+
y2
t2-2t
=1（t≠0且t≠2），其兩個(gè)不同的焦點(diǎn)F1、F2同在x軸上．
（1）試根據(jù)t不同的取值范圍來討論C所表示的圓錐曲線；
（2）試在曲線C上求滿足
PF1
•
PF2
=0的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，并求出相應(yīng)的t的取值范圍．
分析：（1）只可能是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓或雙曲線，利用橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出；
（2）滿足
PF1
•
PF2
=0的P在以F1F2為直徑的圓周上．再根據(jù)t的取值范圍，可得當(dāng)t∈（0，2）時(shí)，曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，可得p的個(gè)數(shù)．再根據(jù)b與c的關(guān)系即可得出p點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
解答：解：（1）只可能是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓或雙曲線，
當(dāng)
t2-2t＞0
t2-2t＜16
，即t∈(1-
17
，0)∪(2，1+
17
)時(shí)，曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，
當(dāng)t2-2t＜0即t∈（0，2）時(shí)，曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．
（2）滿足
PF1
•
PF2
=0的P在以F1F2為直徑的圓周上
當(dāng)t∈（0，2）時(shí)，曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，P有4個(gè)
當(dāng)t∈(1-
17
，0)∪(2，1+
17
)時(shí)，曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
此時(shí)a2=16，b2=t2-2t，c2=16-（t2-2t）
若b＜c，即t∈（-2，0）∪（2，4）時(shí)，P有4個(gè)
若b=c，即t=-2或t=4時(shí)，P有2個(gè)
若b＞c，即t∈(1-
17
，-2)∪(4，1+
17
)時(shí)，P不存在．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓、圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P是圓C：x2+y2=1外一點(diǎn)，設(shè)k1，k2分別是過點(diǎn)P的圓C兩條切線的斜率．
（1）若點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，2），求k1•k2的值；
（2）若k1•k2=-λ（λ≠-1，0），求點(diǎn)P的軌跡M的方程，并指出曲線M所在圓錐曲線的類型．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，直線l1和l2相交于點(diǎn)M且l1⊥l2，點(diǎn)N∈l1．以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到l2的距離與到點(diǎn)N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，|AM|=
17
，|AN|=3，且|BN|=6．
（1）曲線段C是哪類圓錐曲線的一部分？并建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C所在的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）所建的坐標(biāo)系下，已知點(diǎn)P（m，n）在曲線段C上，直線l：mx+ny=1，求直線l被圓x2+y2=1截得的弦長(zhǎng)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

圓錐曲線上任意兩點(diǎn)連成的線段稱為弦．若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對(duì)稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦．已知點(diǎn)P（
x0，y0）、M（m，n）是圓錐曲線C上不與頂點(diǎn)重合的任意兩點(diǎn)，MN是垂直于x軸的一條垂軸弦，直線MP，NP分別交x軸于點(diǎn)E（xE，0）和點(diǎn)F（xF，0）．
（Ⅰ）試用x0，y0，m，n的代數(shù)式分別表示xE和xF；
（Ⅱ）已知“若點(diǎn)P（x0，y0）是圓C：x2+y2=R2上的任意一點(diǎn)（
x0•y0≠0），MN是垂直于x軸的垂軸弦，直線MP、NP分別交x軸于點(diǎn)E（xE，0）和點(diǎn)F（xF，0），則xE•xF=R2”．類比這一結(jié)論，我們猜想：“若曲線C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)（如圖），則xE•xF也是與點(diǎn)M、N、P位置無關(guān)的定值”，請(qǐng)你對(duì)該猜想給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•天津模擬）已知曲線C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，x≥0)和曲線C2：x2+y2=r2(x≥0)都過點(diǎn)A（0，-1），且曲線C1所在的圓錐曲線的離心率為
3
2
．
（Ⅰ）求曲線C1和曲線C2的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)B，C分別在曲線C1，C2上，k1，k2分別為直線AB，AC的斜率，當(dāng)k2=4k1時(shí)，問直線BC是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚(yáng)中二中高三（上）期末數(shù)學(xué)模擬試卷（解析版） 題型：解答題

圓錐曲線上任意兩點(diǎn)連成的線段稱為弦．若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對(duì)稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦．已知點(diǎn)P（
x，y）、M（m，n）是圓錐曲線C上不與頂點(diǎn)重合的任意兩點(diǎn)，MN是垂直于x軸的一條垂軸弦，直線MP，NP分別交x軸于點(diǎn)E（xE，0）和點(diǎn)F（xF，0）．
（Ⅰ）試用x，y，m，n的代數(shù)式分別表示xE和xF；
（Ⅱ）已知“若點(diǎn)P（x，y）是圓C：x2+y2=R2上的任意一點(diǎn)，MN是垂直于x軸的垂軸弦，直線MP、NP分別交x軸于點(diǎn)E（xE，0）和點(diǎn)F（xF，0），則”．類比這一結(jié)論，我們猜想：“若曲線C的方程為（如圖），則xE•xF也是與點(diǎn)M、N、P位置無關(guān)的定值”，請(qǐng)你對(duì)該猜想給出證明．

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