Question

已知函數(shù)f（x）=x•sinx，有下列四個結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的圖象關于y軸對稱；
②存在常數(shù)T＞0，對任意的實數(shù)x，恒有f（x+T）=f（x）成立；
③對于任意給定的正數(shù)M，都存在實數(shù)x₀，使得|f（x₀）|≥M；
④函數(shù)f（x）的圖象上至少存在三個點，使得該函數(shù)在這些點處的切線重合．
其中正確結(jié)論的序號是

 

（請把所有正確結(jié)論的序號都填上）．

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：①研究函數(shù)的奇偶性，可用偶函數(shù)的定義來證明之；
②研究的是函數(shù)的周期性，采用舉對立面的形式說明其不成立；
③找出一個常數(shù)M，都存在實數(shù)x₀，使得|f（x₀）|≥M成立即可；
④根據(jù)切線的幾何意義，先求導，在找到特殊點，求出切線方程即可．

解答： 解：對于①，∵f（-x）=-x•sin（-x）=xsinx=f（x），
∴函數(shù)為偶函數(shù)，∴函數(shù)f（x）的圖象關于y軸對稱，故①正確；
對于②∵當x=2kπ+

π

2

時，f（x）=x，隨著x的增大函數(shù)值也在增大，所以不會是周期函數(shù)，故②錯；
對于③取M=1，當x₀=

π

2

時，|f（

π

2

）|=

π

2

≥1；故③正確；
對于④∵f′（x）=sinx+xcosx，
當x=2kπ+

π

2

，f′（2kπ+

π

2

）=1=k，
f（2kπ+

π

2

）=2kπ+

π

2

∴切線方程為y-2kπ-

π

2

=x-2kπ-

π

2

即切線方程為y=x，
∴函數(shù)f（x）的圖象上至少存在三個點，使得該函數(shù)在這些點處的切線重合，故④正確
（為了讓學生更加理解，特畫圖）
故答案為：①③④

點評：本題考點是函數(shù)的單調(diào)性判斷與證明，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的中心對稱的判斷及函數(shù)的周期性，涉及到的性質(zhì)比較多，且都是定義型，本題知識性較強，做題時要注意準確運用相應的知識準確解題．