Question

12．直線l過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F，與該拋物線及其準線的交點依次為A、B、C，若|BC|=2|BF|，|AF|=3，則P=（　�。�

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{9}{4}$
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)直線AB的方程為：y=k$（x-\frac{p}{2}）$，（k≠0）．與拋物線方程聯(lián)立化為：k²x²-（2p+pk²）x+$\frac{{p}^{2}}{4}{k}^{2}$=0，由x_A+$\frac{P}{2}$=3，由|BC|=2|BF|，可得$\frac{{x}_{B}+\frac{P}{2}}{P}$=$\frac{2}{3}$，可得x_B．再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：如圖所示
設(shè)直線AB的方程為：y=k$（x-\frac{p}{2}）$，（k≠0）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，化為：k²x²-（2p+pk²）x+$\frac{{p}^{2}}{4}{k}^{2}$=0，
∴x_Ax_B=$\frac{{P}^{2}}{4}$．
∵x_A+$\frac{P}{2}$=3，
∵|BC|=2|BF|，
∴$\frac{{x}_{B}+\frac{P}{2}}{P}$=$\frac{2}{3}$，
可得x_B=$\frac{p}{6}$．
∴$\frac{p}{6}（3-\frac{p}{2}）$=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
解得p=$\frac{3}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了拋物線的定義標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交弦長問題、平行線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．