Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F為棱AD、AB的中點
（1）求證：EF∥平面CB₁D₁
（2）求證：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁
（3）設(shè)二面角B-B₁D₁-C 的大小為θ，求tanθ．

Answer 1

分析：（1）連接BD，由正方體的幾何特征及三角形的中位線定理，可得B₁D₁∥EF，進而由線面平行的判定定理可得EF∥平面CB₁D₁
（2）由正方體的結(jié)構(gòu)特征，我們易得A₁C₁⊥B₁D₁，AA₁⊥B₁D₁，由線面垂直的判定定理可得B₁D₁⊥平面CAA₁C₁，進而由面面垂直的判定定理可得平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁
（3）設(shè)O、G分別是上、下底面中心，連接OG、CO，易得∠GOC即為二面角B-B₁D₁-C的平面角θ，解三角形∠GOC即可得到tanθ的值．

解答：證明：（1）連接BD，在正方體中，BD∥B₁D₁（1分）
又E、F為棱AD、AB的中點，
∴BD∥EF
∴B₁D₁∥EF，（3分）
又B₁D₁?平面CB₁D₁，EF?平面CB₁D₁，
∴EF∥平面CB₁D₁，（5分）
（2）在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，
又由正方體中AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?A₁B₁C₁D₁，
∴AA₁⊥B₁D₁，（2分）
又A₁C₁∩AA₁=A₁，A₁C₁，AA₁?平面CAA₁C₁，
∴B₁D₁⊥平面CAA₁C₁，（4分）
又B₁D₁?平面CB₁D₁，
∴平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁（5分）
（3）∵平面CAA₁C₁⊥B₁D₁，
設(shè)O、G分別是上、下底面中心，連接OG、CO
則有OG⊥B₁D₁，OC⊥B₁D₁
∴∠GOC即為二面角B-B₁D₁-C的平面角θ…2分
∴tanθ=

CG

OG

=

2 2 a

a

=

2

2

（設(shè)a為正方形的邊長）（4分）

點評：本題考查的知識點是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是證得B₁D₁∥EF，（2）的關(guān)鍵是熟練掌握空間中線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，（3）的關(guān)鍵是證得∠GOC即為二面角B-B₁D₁-C的平面角θ．