Question

已知向量

a

=（-1，2），

b

=（1，1），t∈R．
（I）求＜

a

，

b

＞；  （II）求|

a

+t

b

|的最小值及相應(yīng)的t值．

Answer 1

分析：（I）利用向量的夾角公式cos＜

a

•

b

＞= 

a •  b

| a |•|  b |

=

x1x2+y1y2

x 12+y 12 x 22+y 22

計(jì)算夾角的余弦值，再由夾角的范圍確定夾角的值
（II）利用向量數(shù)量積的性質(zhì)|

a

| 2=

a

 2，將|

a

+t

b

|轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，利用配方法求二次函數(shù)的最值即可得所求函數(shù)的最小值及相應(yīng)的t值

解答：解：（I）∵

a

=（-1，2），

b

=（1，1），
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b |

=

-1+2

1+4• 1+1

=

1

10

=

10

10

∵＜

a

，

b

＞∈（0，π）∴＜

a

，

b

＞=arccos 

10

10

（II）∵|

a

+t

b

|=

( a +t b ) 2

=

a 2+2t a b + t2 b 2

=

2(t+ 1 2 )2+ 9 2

，
∴當(dāng)t=-

1

2

時(shí)，|

a

+t

b

|取最小值 

9 2

=

3 2

2

．

點(diǎn)評：本題考察了向量的夾角公式，向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真體會向量數(shù)量積運(yùn)算在解決夾角和長度問題中的重要應(yīng)用