如圖,圓x2+y2=4與y軸的正半軸交于點B,P是圓上的動點,P點在x軸上的投影是D,點M滿足
DM
=
1
2
DP

(1)求動點M的軌跡C的方程,并說明軌跡是什么圖形.
(2)過點B的直線l與M點的軌跡C交于不同的兩點E、F,若
BF
=2
BE
,求直線l的方程.
分析:(1)利用P是圓上的動點,P點在x軸上的投影是D,點M滿足
DM
=
1
2
DP
.可得動點坐標之間的關系,利用P在圓x2+y2=4上,即可求得動點M的軌跡C的方程,從而可得所求軌跡;
(2)由
BF
=2
BE
知E是BF中點,由此可得E,F(xiàn)的坐標表示,代入橢圓方程,可求得E,F(xiàn)的坐標,進而可得直線l的方程.
解答:解:(1)設M(x,y),P(x0,y0),則題意DP⊥x軸且M是DP的中點,
所以
x0=x
y0=2y
(2分)
又P在圓x2+y2=4上,所以x02+y02=4,即x2+(2y)2=4,即
x2
4
+y2=1
(4分)
軌跡是以(
3
,0)
(-
3
,0)
為焦點,長軸長為4的橢圓.(6分)
注:只說軌跡是橢圓扣(1分).
(2)設E(x0,y0),由
BF
=2
BE
知E是BF中點,又B(0,2),所以F(2x0,2y0-2),因E,F(xiàn)都在橢圓x2+4y2=4上,所以
x02+4y02=4
x02+4(y0-1)2=1
(9分)
解得:x0
15
4
,y0=
7
8
(11分)
E(±
15
4
,
7
8
)
,則k=
y0-2
x0
3
15
10
(13分)
所以直線l方程為:y=±
3
15
10
x+2
(14分)
點評:本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合,主要考查代入法求軌跡方程,考查直線與橢圓相交,關鍵是將向量關系轉化為坐標關系,從而得解.
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