Question

【題目】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，且點(diǎn)在上，拋物線與橢圓交于四點(diǎn)

（I）求的方程；

（Ⅱ）試探究坐標(biāo)平面上是否存在定點(diǎn)，滿足?（若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，需說明理由.）

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)答案見解析.

【解析】試題分析：（I）根據(jù)橢圓定義求，再根據(jù)c求b，即得的方程；（Ⅱ）根據(jù)橢圓和拋物線對(duì)稱性得轉(zhuǎn)化為研究的垂直平分線和軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn).聯(lián)立拋物線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)公式得，再根據(jù)直線斜率公式得AB斜率，表示垂直平分線方程，求得其和軸的交點(diǎn)為，即得結(jié)論.

試題解析：（I）依題意有：

所以

所以橢圓的方程為：

（Ⅱ）法一：由于橢圓和拋物線都關(guān)于軸對(duì)稱，故它們的交點(diǎn)也關(guān)于軸對(duì)稱，不妨設(shè)，則

若存在點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)在軸上，設(shè)，

聯(lián)立

則，

由于

所以

又

所以

則

即

故坐標(biāo)平面上存在定點(diǎn)，滿足

法二：由于橢圓和拋物線都關(guān)于軸對(duì)稱，故它們的交點(diǎn)也關(guān)于軸對(duì)稱，不妨設(shè)，則 的中心

依題意，只要探究的垂直平分線和軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn).

聯(lián)立

則，

所以，直線：

令得： 為定值，

故坐標(biāo)平面上存在定點(diǎn)，滿足.