Question

【題目】若對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得數(shù)列的前項和，則稱數(shù)列是“回歸數(shù)列”.

（1）前項和為的數(shù)列是否是“回歸數(shù)列”？并請說明理由；

（2）設(shè)是等差數(shù)列，首項，公差，若是“回歸數(shù)列”，求的值；

（3）是否對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“回歸數(shù)列”和，使得（）成立，請給出你的結(jié)論，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）是；（2）；（3）存在，理由見解析.

【解析】

（1）由題意，根據(jù)數(shù)列中與，分別的奧和時，對任意的存在正整數(shù)使得成立，解得結(jié)論；

（2）因為是等差數(shù)列，首項，公差，則對任意的存在正整數(shù)使得成立，現(xiàn)求得當時，得到，再驗證時，對任意的存在正整數(shù)使得成立，即可得到結(jié)論。

（3）由（2）知，可以構(gòu)造一個回歸的等差數(shù)列，驗證時，得到，使得成立，進而對于對任意等差數(shù)列，得到，使得成立，即可得到答案。

（1）

顯然

時，存在正整數(shù)使得成立符合題意

時，對任意的存在正整數(shù)使得成立

（2）因為是等差數(shù)列，首項，公差

所以對任意的存在正整數(shù)使得成立

當時，公差，所以正整數(shù)只能是1，所以

驗證：時，對任意的存在正整數(shù)使得成立

（3）由（2）知，可以構(gòu)造一個回歸的等差數(shù)列

驗證：

時，是奇數(shù)，是偶數(shù)，是偶數(shù)，是奇數(shù)，

對任意的存在正整數(shù)，使得成立

對任意的一個等差數(shù)列，

一定得到

是常數(shù)，是等差數(shù)列，首項為0

任意的，它的前項和，假設(shè)它是回歸數(shù)列，則存在正整數(shù)使2得成立，成立

解得