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【題目】在四棱錐中，側面底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，，，，，E，F分別為AD，PC的中點．

Ⅰ求證：平面BEF；

Ⅱ若，求二面角的余弦值．

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】

（1）連接交于，并連接，，由空間幾何關系可證得，利用線面平行的判斷定理可得平面.

（2）（法一）取中點，連，，，由二面角的定義結合幾何體的特征可知為二面角的平面角,計算可得二面角的余弦值為.

（法二）以為原點，、、分別為、、建立直角坐標系，則平面法向量可取：,平面的法向量,由空間向量的結論計算可得二面角的余弦值為.

（1）連接交于，并連接，，

，，為中點， ，且，

四邊形為平行四邊形， 為中點，又為中點，

， 平面，平面，平面.

（2）（法一）由為正方形可得， .

取中點，連，，，側面 底面，且交于， ，

面，又，為二面角的平面角,

又，，，

，所以二面角的余弦值為.

（法二）由題意可知 面， ，如圖所示，以為原點，、、分別為、、建立直角坐標系，則，，，.

平面法向量可取：,

平面中，設法向量為，則 ,

取,

，所以二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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