Question

已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線過點(diǎn)(3，

6

)．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若拋物線與直線y=x-2交于A、B兩點(diǎn)，求證：k_OA•k_OB=-4．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，可求拋物線的方程；
（2）將直線方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式，可得結(jié)論．

解答：（1）解：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px（p＞0），則
∵拋物線過點(diǎn)(3，

6

)，∴6=2p×3，∴p=1，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2x；
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線y=x-2代入y²=2x，整理可得x²-6x+4=0
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=4，
∴k_OA•k_OB=

y1y2

x1x2

=

(x1-2)(x2-2)

x1x2

=

x1x2-4(x1+x2)+4

4

=-4．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．