Question

1．已知$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$
（1）用五點(diǎn)法完成下列表格，并畫(huà)出函數(shù)f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{12}，\frac{11π}{12}]$上的簡(jiǎn)圖；
（2）若$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，函數(shù)g（x）=f（x）+m的最小值為2，試求處函數(shù)g（x）的最大值，指出x取值時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值．

x
2x+$\frac{π}{6}$
sin（2x+$\frac{π}{6}$）
f（x）

Answer 1

分析 （1）利用五點(diǎn)法，即將2x+$\frac{π}{6}$看成整體取正弦函數(shù)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線畫(huà)出函數(shù)圖象，
（2）g（x）=f（x）+m=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$+m，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求此函數(shù)的最值可先將2x+$\frac{π}{6}$看成整體，求正弦函數(shù)的值域，最后利用函數(shù)g（x）=f（x）+m的最小值為2，解方程可得m的值，進(jìn)而求出函數(shù)最大值．

解答 解：（1）列表如下：

x	-$\frac{π}{12}$	$\frac{2π}{12}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{8π}{12}$	$\frac{11π}{12}$
2x+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
sin（ 2x+$\frac{π}{6}$）	0	1	0	-1	0
y	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	-$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

描點(diǎn)連線，作圖如下：

（2）g（x）=f（x）+m=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$+m，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴g（x）∈[m，$\frac{3}{2}$+m]，
∴m=2，
∴gmax（x）=$\frac{3}{2}$+m=$\frac{7}{2}$
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{6}$時(shí)g（x）最大，最大值為$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考察了三角變換公式的運(yùn)用，三角函數(shù)的圖象畫(huà)法，三角函數(shù)圖象變換，及復(fù)合三角函數(shù)值域的求法，屬于基礎(chǔ)題．