Question

甲、乙兩個(gè)盒子中裝有大小相同的小球，甲盒中有2個(gè)黑球和2個(gè)紅球，乙盒中有2個(gè)
黑球和3個(gè)紅球，從甲乙兩盒中各任取一球交換．
（1）求交換后甲盒中恰有2個(gè)黑球的概率；
（2）（文）設(shè)交換后甲盒中的黑球數(shù)沒有減少的概率．
（3）（理）設(shè)交換后甲盒中黑球的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）事件“交換后甲盒中恰有2個(gè)黑球”可以分解為①取出的兩個(gè)球都是黑球；②取出的兩個(gè)球都是紅球，因此按這兩種情況分類討論分別求出相應(yīng)的概率，最后用概率的加法公式，即可得出所要求的概率；
（2）事件“交換后甲盒中的黑球數(shù)沒有減少”包含兩種情況，一種是（1）中第一條的事件，另一種是“從甲盒中取出紅球，乙盒中取出黑球交換”，用隨機(jī)事件概率的公式求出后一事件的概率，最后用概率的加法公式，即可得出所要求的概率；
（3）根據(jù)（1）和（2）的概率計(jì)算結(jié)果，不難列出隨機(jī)變量ξ的分布列的表格，再利用離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的公式，可以求出ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）甲乙兩盒各取一個(gè)球交換后，甲盒中恰有2個(gè)黑球有下面幾種情況：
①取出的兩個(gè)球都是黑球，則甲盒恰好有2個(gè)黑球的事件記為A₁，則P(A1)=

C 1 2 • C 1 2

C 1 4 • C 1 5

=

1

5

…（3分）
②取出的兩個(gè)球都是紅球，則此時(shí)甲盒中恰有2個(gè)黑球的事件記為A₂，則P(A2)=

C 1 2 • C 1 3

C 1 4 • C 1 5

=

3

10

…（6分）
故P₁=P（A₁）+P（A₂）=

1

5

+

3

10

=

1

2

…（8分）
（2）（文）設(shè)從甲盒中取出紅球，乙盒中取出黑球交換為事件A₃，
則  P(A3)=

C 1 2 • C 1 2

C 1 4 • C 1 5

=

1

5

…（10分）
所以概率為P₂=P₁+P（A₃）=

7

10

．…（12分）
（3）（理）則ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	3 10	1 2	1 5

根據(jù)表格，可得ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=

3

10

×1+

1

2

×2+

1

5

×3=

19

10

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了等可能事件的概率、離散型隨機(jī)變量及其分布列和離散型隨機(jī)變量的期望與方差等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．請(qǐng)同學(xué)們注意解題過程中事件分解的思路和公式的正確使用．