【題目】己知橢圓C:的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點.O為坐標原點.

(1)若直線l過點F1,且|AB|=,求k的值;

(2)若以AB為直徑的圓過原點O,試探究點O到直線AB的距離是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由。

【答案】(1) ;(2) .

【解析】

(1)由條件得到m=2k,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0.由弦長公式|AB|代入整理,解得

(2)設(shè)直線l方程y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由條件結(jié)合韋達定理得到3m2=8k2+8.利用點O到直線AB的距離公式求得d2=,從而得到定值

(1)因為直線l過點F1(-2,0),所以m=2k即直線l的方程為y=k(x+2).

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).

聯(lián)立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0.

∴ x1+x2=,x1x2=由弦長公式|AB|=,

代入整理得,解得k2=1.∴

(2)設(shè)直線l方程y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).

聯(lián)立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.

∴ x1+x2=,x1x2=. 以AB為直徑的圓過原點O,即

x1x2+ y1y2=0.將y1=kx1+m,y2= kx2+m代入,整理得

(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0. x1+x2=,x1x2=代入,

整理得3m2=8k2+8.設(shè)點O到直線AB的距離為d,

于是d2=, 故O到直線AB的距離是定值為

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