Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=sinα+cosα\\ y=1+sin2α\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$acos（θ-$\frac{3π}{4}$）（a＞0）．
（I）求直線，與曲線C₁的交點(diǎn)的極坐標(biāo)（P，θ）（p≥0，0≤θ＜2π）．
（Ⅱ）若直線l與C₂相切，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)C₁的參數(shù)方程和直線的極坐標(biāo)方程便可得出它們的直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立形成方程組即可求出l與C₁的直角坐標(biāo)交點(diǎn)，再化成極坐標(biāo)交點(diǎn)即可；
（Ⅱ）可寫出曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，配方得到（x+a）²+（y-a）²=2a²，從而根據(jù)直線和圓相切時(shí)圓心到直線距離和半徑的關(guān)系即可建立關(guān)于a的方程，解出a即可．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₁的普通方程為y=x²，$x∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，直線l的普通方程為x+y=2；
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{x+y=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=4}\end{array}\right.$（舍去）；
故直線l與曲線C₁的直角坐標(biāo)為（1，1），其極坐標(biāo)為$（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$；
（Ⅱ）曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x²+y²+2ax-2ay=0，即：
（x+a）²+（y-a）²=2a²（a＞0）；
由曲線l與C₂相切，得$\frac{|-a+a-2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}a$；
∴a=1．

點(diǎn)評(píng) 考查曲線的參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，以及極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，以及直線和圓的位置關(guān)系．