Question

某校高一年級共有四個班，在一次數(shù)學(xué)調(diào)研測試后，隨機(jī)地在各班抽取部分學(xué)生進(jìn)行成績分析．各班被抽取的學(xué)生人數(shù)恰好成等差數(shù)列，人數(shù)最少的班被抽取了22人．抽取出來的所有學(xué)生的成績統(tǒng)計結(jié)果的頻率分直方圖如圖所示，其中120～130（包括120分但不包括130分）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為5人．
（Ⅰ）求各班被抽取的學(xué)生人數(shù)分別為多少人？
（Ⅱ）在抽取的所有學(xué)生中，任取一人，求分?jǐn)?shù)不小于90分的概率．
（Ⅲ）在120～130分的甲、乙等5人中，隨機(jī)抽取3人參加高一數(shù)學(xué)競賽．求恰好含有甲乙中一人的概率．

Answer 1

考點：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)頻率分布直方圖，以及120～130（包括120分但不包括130分）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為5人，求出抽取的學(xué)生總數(shù)；然后根據(jù)各班被抽取的學(xué)生人數(shù)恰好成等差數(shù)列，人數(shù)最少的班被抽取了22人，求出各班被抽取的學(xué)生人數(shù)分別為多少人即可；
（Ⅱ）在頻率分布直方圖中，把分?jǐn)?shù)不小于90分的各段的頻率相加，即可求出分?jǐn)?shù)不小于90分的概率；
（Ⅲ）用抽取的3人中恰好含有甲乙中一人的事件的個數(shù)，除以從5人中抽取3人的全部的事件的個數(shù)，即得恰好含有甲乙中一人的概率．

解答： 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖知，抽取的學(xué)生總數(shù)為：

5

0.005×10

=100（人），
∵各班被抽取的學(xué)生人數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，
由4×22+6d=100，得d=2．
∴各班被抽取的學(xué)生人數(shù)分別是22人，24人，26人，28人．
（Ⅱ）在抽取的學(xué)生中，任取一人，其分?jǐn)?shù)不小于9（分）的概率為：
0.35+0.25+0.1+0.05=0.75；
（Ⅲ）設(shè)120～130分的有甲、乙、丙、丁、戊5人，
抽取的3人中恰好含有甲乙中一人的事件有：
（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），一共有6個，
從5人中抽取3人的全部事件有：
（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，�。�，（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），
（甲，乙，丙），（甲，乙，�。�，（甲，乙，戊），一共有10個，
所以恰好含有甲乙中一人的概率為：

6

10

=

3

5

．

點評：本題主要考查了頻率分步直方圖的應(yīng)用，考查了等可能事件的概率的求法，以及等差數(shù)列的性質(zhì)和運用，屬于中檔題．