Question

已知函數(shù)f（x）=x³-2ax²-3x，x∈R．
（Ⅰ）當a=0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈（0，+∞）時，f（x）≥ax恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）當a=0時，f（x）=x³-3x，故f'（x）=3x²-3…（1分）
因為當x＜-1或x＞1時，f'（x）＞0
當-1＜x＜1時，f'（x）＜0
故f（x）在（-∞，-1]和[1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，1）上單調(diào)遞減．…（5分）
（II）由題意可知x³-2ax²-3x≥ax在（0，+∞）上恒成立，
即x²-2ax-（3+a）≥0在（0，+∞）上恒成立．…（7分）
令g（x）=x²-2ax-（3+a），
因為…（9分）
故x²-2ax-（3+a）≥0在（0，+∞）上恒成立等價于即解得a≤-3…（12分）
分析：（I）當a=0時，f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質，我們易判斷出導函數(shù)的符號，進而根據(jù)導數(shù)符號與單調(diào)性的關系，即可得到函數(shù)的單調(diào)性．
（II）由已知中x∈（0，+∞）時，f（x）≥ax恒成立，我們可以構造函數(shù)g（x）=x²-2ax-（3+a），根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質，構造關于a的不等式，進而得到答案．
點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)恒成立問題，其中（I）的關鍵是由函數(shù)的解析式，求了導函數(shù)的解析式，（II）的關鍵是將問題轉化為二次函數(shù)恒成立問題．