Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別是棱AB，BC上異于端點的點，
（1）證明△B₁MN不可能是直角三角形；
（2）如果M，N分別是棱AB，BC的中點，
（ⅰ）求證：平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（ⅱ）若在棱BB₁上有一點P，使得B₁D∥面PMN，求B₁P與PB的比值．

Answer 1

分析：（1）對于確定性問題，我們可以使用反證明來進行證明，假設△B₁MN是直角三角形，然后根據正方體的幾何特征，及線面垂直的判定及性質我們易得到△B₁MN中會出現(xiàn)兩個直角，從而得到矛盾，進而得到原結論△B₁MN不可能是直角三角形；
（2）連接MN，設MN∩BD=Q，（�。┯烧�方形的幾何性質，我們易得AC⊥BD，MN⊥BD，則DD₁⊥面ABCD，再由DD₁⊥MN，結合線面垂直的判定定理，即可得到平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；（ⅱ）連接PM，PN，由B₁D∥面PMN，由線面平行的性質，我們易得BD₁∥PQ，然后根據平行線分線段成比例定理，得到B₁P與PB的比值．

解答：解：（1）用反證法．如果△B₁MN是直角三角形，
不妨設∠B1MN=

π

2

，則MN⊥B₁M，（1分）
而B₁B⊥面ABCD，MN?面ABCD，∴B₁B⊥MN，B₁B∩B₁M=B₁，∴MN⊥面ABB₁A₁，∵AB?面ABB₁A₁，（2分）∴MN⊥AB，即∠BMN=

π

2

，與∠MBN=

π

2

矛盾�。�3分）∴△B₁MN不可能是直角三角形．（4分）
（2）連接MN，設MN∩BD=Q則MN∥AC（5分）
∴AC⊥BD，MN⊥BD（7分）
又∵DD₁⊥面ABCD∴DD₁⊥MN
∴平面B₁MN⊥面BDD₁（9分）
（3）連接PM，PN則面PMN∩面BDD₁=PQ（10分）
當BD₁∥PQ時，BD₁∥面PMN（11分）
又M，N分別是AB，BC中點

BQ

QD

=

1

3

；

D1P

PD

=

BQ

QD

=

1

3

．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定、三角形的形狀判斷，直線與平面平行的判定及反證法，掌握正方體的幾何特征，及空間線面垂直、平行的判定、性質是解答本題的關鍵．