Question

設數列的各項都是正數，且對任意，都有，其中為數列.的前n項和.

（1）求數列的通項公式；

（2）設（為非零整數，），試確定的值，使得對任意，都有成立.

 

Answer 1

（1）；（2）對所有的，都有成立.

【解析】

試題分析：（1）根據題目給出的遞推式，取得另一遞推式，兩式作差后即可求出當時，數列為等差數列，然后令驗證其是否滿足該通項即可判斷數列為等差數列；（2）將（1）的結果代入通項即可得出關于的通項公式；然后取得另一遞推式，兩式作差化簡可得；再將問題“對任意，都有成立”轉化為對任意，恒成立，將其分成兩類進行討論：（1）當為奇數時， 恒成立，解得 的取值范圍；（2）當為偶數時， 恒成立，解得 的取值范圍，最后根據為非零整數，確定參數的值即可.

試題解析：（1）因為時，， ①

當時，， ②

由①－②得，

即，∵ 所以，

由已知得，當時，，所以.

故數列是首項為1，公差為1的等差數列.所以.

（2）因為，∴，

所以.

要使得恒成立，只須.

（1）當為奇數時，即恒成立.又的最小值為，所以.

（2）當為偶數時，即恒成立.又的最大值為，所以.

所以由（1），（2）得，又且為整數，

所以對所有的，都有成立.

考點：等差數列的通項公式；數列的函數特性.