已知拋物線C：y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于M點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)斜率為k的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)（A在M、B之間）．
（1）F為拋物線C的焦點(diǎn)，若|AM|=
5
4
|AF|，求k的值；
（2）如果拋物線C上總存在點(diǎn)Q，使得QA⊥QB，試求k的取值范圍．
（1）法一：由已知M（-1，0）（1分）
設(shè)A（x1，y1），則|AM|=
1+k2
|x1+1|，（1分）
|AF|=
(x1-1)2+
y21

=
(x1-1)2+4x1

=|x1+1|，（1分）
由4|AM|=5|AF|得，4
1+k2
=5，
解得k=±
3
4
（2分）
法二：記A點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為d，直線l的傾斜角為a，
由拋物線的定義知|AM|=
5
4
d，（2分）
∴cosa=±
d
|AM|
=±
4
5
，
∴k=tana=±
3
4
（3分）
（2）設(shè)Q（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）
由
y2=4x
y=k(x+1)
得ky2-4y+4k=0，（1分）
首先由
k≠0
16-16k2＞0
得-1＜k＜1且k≠0
kQA=
y0-y1
x0-x1
=
y0-y1
y20
4
-
y21
4
=
4
y0+y1
，
同理kQB=
4
y0+y2
（2分）
由QA⊥QB得
4
y0+y1
•
4
y0+y2
=-1，（2分）
即：y02+y0（y1+y2）+y1y2=-16，
∴
y20
+
4
k
y0+20=0，（2分）
△=(
4
k
)2-80≥0，得-
5
5
≤k≤
5
5
且k≠0，
由-1＜k＜1且k≠0得，
k的取值范圍為[-
5
5
，0）∪（0，
5
5
]（3分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4（
2
+1），一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D．
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明k1•k2=1；
（Ⅲ）（此小題僅理科做）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知直線l：y=x+2，與拋物線x2=y交于A（xA，yA），B（xB，yB）兩點(diǎn)，l與x軸交于點(diǎn)C（xC，0）．
（1）求證：
1
xA
+
1
xB
=
1
xC
；
（2）求直線l與拋物線所圍平面圖形的面積；
（3）某同學(xué)利用TI-Nspire圖形計(jì)算器作圖驗(yàn)證結(jié)果時(shí)（如圖1所示），嘗試拖動(dòng)改變直線l與拋物線的方程，發(fā)現(xiàn)
1
xA
+
1
xB
與
1
xC
的結(jié)果依然相等（如圖2、圖3所示），你能由此發(fā)現(xiàn)出關(guān)于拋物線的一般結(jié)論，并進(jìn)行證明嗎？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-2）與向量（-1，1）平行的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交x軸于M點(diǎn)，又
AM
=2
MB
．
（Ⅰ）求橢圓C長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍；
（Ⅱ）若|
AB
|=
3
2
2
，求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C1：2x2-y2=1．
（1）過(guò)C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；
（2）設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓x2+y2=1相切，求證：OP⊥OQ；
（3）設(shè)橢圓C2：4x2+y2=1，若M、N分別是C1、C2上的動(dòng)點(diǎn)，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知離心率為
6
3
的橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)與圓C：x2+（y-3）2=4交于A，B兩點(diǎn)，且∠ACB=120°，C在AB上方，如圖所示，
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在過(guò)交點(diǎn)B，斜率存在且不為0的直線l，使得該直線截圓C和橢圓E所得的弦長(zhǎng)相等？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=x，直線l：y=k（x-1）+1，要使拋物線C上存在關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)F1的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，問(wèn)在橢圓C上是否存在一點(diǎn)M，使四邊形AMBF2為平行四邊形，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)y在軸上，焦距為2
3
，且過(guò)點(diǎn)M(-
13
4
，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)N(
1
2
，1)的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，且N恰好為AB中點(diǎn)，能否在橢圓C上找到點(diǎn)D，使△ABD的面積最大？若能，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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