Question

13．已知直線l：mx-y=1，若直線l與直線x+m（m-1）y=2垂直，則m的值為0或2，動(dòng)直線l被圓C：x²-2x+y²-8=0截得的最短弦長(zhǎng)為2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由直線l：mx-y=1與直線x+m（m-1）y=2垂直的性質(zhì)能求出m；求出圓C：x²-2x+y²-8=0的圓心、半徑，由直線l：mx-y=1過(guò)定點(diǎn)P（0，-1），當(dāng)直線l與定點(diǎn)P（0，-1）與圓心C（1，0）的連線垂直時(shí)，直線l被圓C：x²-2x+y²-8=0截得的弦長(zhǎng)最短，由此能求出動(dòng)直線l被圓C：x²-2x+y²-8=0截得的最短弦長(zhǎng)．

解答 解：∵直線l：mx-y=1與直線x+m（m-1）y=2垂直，
∴m×1+（-1）×m（m-1）=0，
解得m=0或m=2．
圓C：x²-2x+y²-8=0的圓心C（1，0），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+32}$=3，
直線l：mx-y=1過(guò)定點(diǎn)P（0，-1），
當(dāng)直線l與定點(diǎn)P（0，-1）與圓心C（1，0）的連線垂直時(shí)，
直線l被圓C：x²-2x+y²-8=0截得的弦長(zhǎng)最短，
∵|PC|=$\sqrt{（1-0）^{2}+（0+1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴最短弦長(zhǎng)為：2$\sqrt{{3}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
故答案為：0或2，2$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查弦長(zhǎng)的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線垂直的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．