Question

只是2問(wèn)，用空間向量啊！以c為坐標(biāo)原點(diǎn)哦！
如圖，在四面體A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2

2

．M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．
（1）證明：PQ∥平面BCD；
（2）若二面角C-BM-D的大小為60°，求∠BDC的大�。�
（用空間向量解答，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)）

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CD為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明PQ∥平面BCD．
（2）求出平面BCM的法向量和平面BDM的法向量，由此利用已知條件求出CD=

2

，BC=

6

，由此能求出∠BDC=60°．

解答： （1）證明：以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CD為y軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)D（0，a，0），0＜a＜2

2

，則由已知得C（0，0，0），
B（

8-a2

，0，0），A（0，a，2），M（0，a，1），
P（

8-a2

2

，

a

2

，

1

2

），Q（0，

a

4

，

1

2

），

PQ

=（-

8-a2

2

，-

a

4

，0），
∵平面BCD的法向量

n

=（0，0，1），

PQ

•

n

=0，又PQ?平面BCD，
∴PQ∥平面BCD．
（2）解：

BM

=（-

8-a2

，a，1），

CM

=（0，a，1），

DM

=（0，0，1），
設(shè)平面BCM的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • BM =- 8-a2 x+ay+z=0 n • CM =ay+z=0

，取y=1，得

n

=（0，1，-a），
設(shè)平面BDM的法向量

m

=（x₁，y₁，z₁），
則

m • BM =- 8-a2 x1+ay1+z1=0 m • DM =z1=0

，
取y₁=1，得

m

=（

a

8-a2

，1，0），
∵二面角C-BM-D的大小為60°，
∴cos60°=|cos＜

n

，

m

＞|=|

1

a2+1 • a2 8-a2 +1

|=

1

2

，
由0＜a＜2

2

，解得a=

2

，∴CD=

2

，BC=

6

，
∴∠BDC=60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，空間向量的應(yīng)用，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力．