如圖,已知正方體ABCD—A1B1C1D1中,E、F分別是AB和BC的中點,試問在棱DD1上能否找到一點M,使BM⊥平面B1EF?若能,試確定點M的位置;若不能,說明理由.

解析:我們考慮如果BM⊥平面B1EF時,點M應(yīng)該滿足使BM⊥B1E,即其在平面A1B上的射影BP應(yīng)該滿足BP⊥B1E,經(jīng)計算,不難得到點M應(yīng)為DD1的中點.

證明:如圖,取DD1的中點M,AA1的中點P,CC1的中點Q.

    連結(jié)MP、MQ、BP、BQ,易證得MP⊥面ABB1A1,

∴MP⊥B1E.

    又由平面幾何知BP⊥B1E,

∴B1E⊥平面MBP.

∴B1E⊥MB.

    同理可得BM⊥B1F.

    又B1E∩B1F=B1,

∴BM⊥平面B1EF.

點評:證線面垂直常用的方法有:

(1)利用定義,證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線;

(2)運用線面垂直的性質(zhì)定理:兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面.

    上述結(jié)論“BP⊥B1E”的證明可以為：Rt△ABP≌Rt△BB1E,進一步可推得BP⊥B1E.


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

8、如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，點E，F(xiàn)在線段AB上，點M在線段B1C1上，點N在線段C1D1上，且EF=1，D1N=x，AE=y，M是B1C1的中點，則四面體MNEF的體積（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點E為棱AB的中點．
求：
（1）D1E與平面BC1D所成角的正弦值；
（2）二面角D-BC1-C的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是D1C、AB的中點．
（I）求證：EF∥平面ADD1A1；
（Ⅱ）求二面角D-EF-A的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點P，Q，R分別是棱AB，CC1，D1A1的中點．
（1）求證：B1D⊥平面PQR；
（2）設(shè)二面角B1-PR-Q的大小為θ，求|cosθ|．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•寶山區(qū)一模）如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1 的棱長為2，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點．
（1）求三棱錐E-AA1F的體積；
（2）求異面直線EF與AB所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案