Question

12．PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．石景山古城地區(qū)2013年2月6日至15日每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示．
（1）小陳在此期間的某天曾經(jīng)來此地旅游，求當(dāng)天PM2.5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)未超標(biāo)的概率；
（2）從所給10天的數(shù)據(jù)中任意抽取三天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，由此能求出當(dāng)天PM2.5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)未超標(biāo)的概率．
（2）ξ的可能值為0，1，2，3．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及期望．

解答 解：（1）記“當(dāng)天PM2.5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)未超標(biāo)”為事件A，
因?yàn)橛?+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，
故P（A）=$\frac{2+4}{10}=\frac{3}{5}$．
（2）ξ的可能值為0，1，2，3．
由莖葉圖可知：空氣質(zhì)量為一級(jí)的有2天，空氣質(zhì)量為二級(jí)的有4天，只有這6天空氣質(zhì)量不超標(biāo)，而其余4天都超標(biāo)．
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}=\frac{1}{30}$．
ξ的分布列如下表：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

∴Eξ=$0×\frac{1}{6}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{30}$=$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意莖葉圖性質(zhì)的合理運(yùn)用．