Question

6．已知函數(shù)f（x）=e^x-a（x+1）（a∈R）（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）若f（x）的圖象與x軸相切，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)0≤a≤1時(shí)，求證：f（x）≥0；
（3）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都有（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜e．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（0）=0，求出a的值即可；
（2）只要求出函數(shù)的最小值，證明函數(shù)的最小值大于等于0即可；
（3）由函數(shù)的最小值，構(gòu)造不等式，令x=$\frac{1}{2n}$，得出關(guān)于正整數(shù)n的不等式ln（1+$\frac{1}{2n}$）≤$\frac{1}{2n}$，運(yùn)用累加法即可證明．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，
若f（x）的圖象與x軸相切，
則f′（0）=e⁰-a=0，解得：a=1；
（2）由f（x）=e^x-ax-a，f′（x）=e^x-a
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=e^x≥0恒成立，滿足條件，
②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，由f′（x）=0，得x=lna，
則當(dāng)x∈（-∞，lna）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）在x=lna處取得極小值即為最小值，
f（x）_min=f（lna）=e^lna-alna-a=-alna
∵0＜a≤1，∴l(xiāng)na≤0，∴-alna≥0，∴f（x）_min≥0，
∴綜上得，當(dāng)0≤a≤1時(shí)，f（x）≥0；
（3）由（2）知，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）≥0 恒成立，所以f（x）=e^x-x-1≥0恒成立，
即e^x≥x+1，∴l(xiāng)n（x+1）≤x，令x=$\frac{1}{2n}$（n∈N₊），得ln（1+$\frac{1}{2n}$）≤$\frac{1}{2n}$，
∴l(xiāng)n（1+$\frac{1}{2}$）+ln（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）≤$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}[1{-（\frac{1}{2}）}^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ＜1，
∴（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值，恒成立問(wèn)題，以及不等式的證明，運(yùn)用了等價(jià)轉(zhuǎn)化，分類討論和化歸思想．屬于導(dǎo)數(shù)中的綜合題，較難．