Question

5．已知$f（x）=（\sqrt{3}sinωx+cosωx）cosωx-\frac{1}{2}$，其中ω＞0，若f（x）的最小正周期為4π．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）圖象上各點向左平移$\frac{π}{3}$個單位長度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，當x∈（-π，π）時，求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求出g（x）=sin（$\frac{1}{2}x$+$\frac{π}{3}$），即可求出當x∈（-π，π）時，函數(shù)g（x）的值域．

解答 解：（1）$f（x）=（\sqrt{3}sinωx+cosωx）cosωx-\frac{1}{2}=\sqrt{3}sinωxcosωx+{cos^2}ωx-\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cosωx=sin（2ωx+$\frac{1}{6}π$）…（2分）
最小正周期為4π，∴$\frac{2π}{2ω}$=4π，∴ω=$\frac{1}{4}$，
∴f（x）=sin（$\frac{1}{2}x$+$\frac{π}{6}$），
由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$…（4分）
得4kπ-$\frac{4π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ-$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z…（6分）
（2）由（1）知f（x）=sin（2ωx+$\frac{1}{6}π$），
將函數(shù)y=f（x）圖象上各點向左平移$\frac{π}{3}$個單位長度后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，
∴g（x）=sin（$\frac{1}{2}x$+$\frac{π}{3}$）…（8分）
∵$-π＜x＜π∴-\frac{π}{6}＜\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}＜\frac{5π}{6}$，∴$-\frac{1}{2}＜sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}）≤1$…10分
∴函數(shù)g（x）的值域為$（-\frac{1}{2}，1]$…（12分）

點評 本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查圖象變換，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．