Question

如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為DD₁、DB的中點．
（Ⅰ）求證：EF⊥B₁C；
（Ⅱ）求三棱錐B₁-EFC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）法一：由題意，欲證線線垂直，可先證出B₁C⊥平面BC₁D₁再由線面垂直的性質證明EF⊥B₁C即可；
法二：可由題設條件證明出EF⊥平面B₁FC，再由線面垂直的性質得出線線垂直；
（Ⅱ）由題意，可先證明出CF⊥平面BDD₁B₁，由此得出三棱錐的高，再求出底面△B₁EF的面積，然后再由棱錐的體積公式即可求得體積．

解答：（Ⅰ）證明一：連接BD₁，BC₁
∵E、F分別為DD₁、BD的中點∴EF∥BD₁
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁
∴D₁C₁⊥平面BCC₁B₁∴D₁C₁⊥B₁C
∵正方形BCC₁B₁∴B₁C⊥BC₁
∵D₁C₁∩BC₁=C₁∴B₁C⊥平面BC₁D₁∴B₁C⊥BD₁
∵EF∥BD₁∴EF⊥B₁C
證明二：∵

ED

FB

=

1

2

=

2

2

=

DF

BB1

∴Rt△EDF∽Rt△FBB₁
∴∠DEF=∠BFB₁∴∠BFB₁+∠DFE=∠DEF+∠DFE=90°∴∠EFB₁=90°
∴EF⊥FB₁    又∵CF⊥平面BDD₁B∴CF⊥EF
B₁F∩CF=F∴EF⊥平面B₁FC∴EF⊥B₁C
（Ⅱ）∵CB=CD，BF=DF∴CF⊥BD∵DD₁⊥平面ABCD∴DD₁⊥CF
又DD₁∩BD=D∴CF⊥平面BDD₁B₁   又CF=

2

方法一：△B₁EF的面積=2×2

2

-

2

-

2

-

2

2

=

3

2

2

方法二：∵EF⊥平面B₁FC∴EF⊥FB₁
EF=

3

，FB₁=

6

Rt△B₁EF的面積=

1

2

×EF×FB₁=

1

2

×

3

×

6

=

3

2

2

∴V_B1-EFC=V_C-B1EF=

1

3

×S_△B1EF×CF=

1

3

× 

3

2

 

2

×

2

=1
∴三棱錐B₁-EFC的體積為1．

點評：本題考查線面垂直的性質定理與線面垂直的判定定理及錐體的體積的求法，考查了空間感知能力及判斷推理的能力，解題的關鍵是熟練掌握相關的定理及公式，本題是立體幾何中的常規(guī)題題型，難度不大，計算麻煩．