如圖，所有棱長都為2的正三棱柱BCD-B′C′D′，四邊形ABCD是菱形，其中E為BD的中點
（Ⅰ）求證：平面BC′D∥面AB′D′；
（Ⅱ）求面AB′D′與面ABD所成銳二面角的余弦值．
考點：二面角的平面角及求法,平面與平面平行的判定
專題：空間位置關系與距離,空間角
分析：（Ⅰ）取B′D′的中點為F，連AF，C′F，由已知得AFC′E為平行四邊形，由此能證明平面BC′D∥面AB′D′．
（Ⅱ）連結EF，由已知得面AB′D′與面ABD所成銳二面角為∠EAF，由此能求出面AB′D′與面ABD所成銳二面角的余弦值．
解答： （Ⅰ）證明：如圖取B′D′的中點為F，連AF，C′F，
∵正三棱柱BCD-B′C′D′，四邊形ABCD是菱形，
∴B′D′∥BD，C′F
∥
.
AE，∴AFC′E為平行四邊形．
∴AF∥C′E，又BD∩C′E=E，
∴平面BC′D∥面AB′D′．
（Ⅱ）解：連結EF，由已知得EF⊥平面ABD，
∴面AB′D′與面ABD所成銳二面角為∠EAF，
∵所有棱長都為2的正三棱柱BCD-B′C′D′，
四邊形ABCD是菱形，
∴EF=2，AE=
4-1
=
3
，AF=
4+3
=
7
，
∴cos∠EAF=
AE
AF
=
3
7
=
21
7
，
∴面AB′D′與面ABD所成銳二面角的余弦值為
21
7
．
點評：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關系，線線角、線面角、二面角的概念、求法等知識，以及空間想象能力和邏輯推理能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某企業(yè)原來每年可生產某種設備65件，每件設備的銷售價格為10萬元，為了增加企業(yè)效益，該企業(yè)今年準備投入資金x萬元對生產工藝進行革新，已知每投入10萬元資金生產的設備就增加1件，同時每件設備的生產成本a萬元與投入資金x萬元之間的關系是a=
25
x+25
，若設備的銷售價格不變，生產的設備能全部賣出，投入資金革新后的年利潤為y萬元（年利潤=年銷售額-年投入資金額-年生產成本）．
（Ⅰ）試將該企業(yè)的年利潤y萬元表示為投入資金x萬元的函數(shù)；
（Ⅱ）該企業(yè)投入資金為多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？并求出最大利潤．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．
（1）求證：AA1⊥平面ABC；
（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設點P在曲線y=x2上，點Q在直線y=2x-2上，則PQ的最小值為（　�。�
A、
5
5
B、
2
5
5
C、
3
5
5
D、
4
5
5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
•
b
=0，向量
c
滿足（
c
-
a
）•（
c
-
b
）=0，|
a
-
b
|=5，|
a
-
c
|=3，則
a
•
c
的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=
-
1
4
x2，0≤x≤2
-(
1
2
)x-
3
4
，x＞2
，若關于x的方程[f（x）]2+af（x）+
7a
16
=0，a∈R有且僅有8個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

為了調查某班學生做數(shù)學題的基本能力，隨機抽查了部分學生某次做一份滿分為100分的數(shù)學試題，他們所得分數(shù)的分組區(qū)間為[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95），由此得到頻率分布直方圖如圖，則這些學生的平均分為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，△ABC是邊長為2
3
的等邊三角形，p是以C為圓心，1為半徑的圓上的任意一點，則
AP
•
BP
最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

ρ=
2
（cosθ-sinθ）（ρ＞0）的圓心極坐標為（　　）
A、（-1，
3π
4
）
B、（1，
7π
4
）
C、（
2
，
π
4
）
D、（1，
5π
4
）

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