Question

18．若函數(shù)f（x）=x²+2a|x|+4a²-3有三個不同的零點，則函數(shù)g（x）=f（x）-f（|a|+a+1）的零點個數(shù)是4個．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的零點，求出a的值，從而求出f（x）的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，問題轉(zhuǎn)化為求f（x）和f（|a|+a+1）的交點個數(shù)問題．

解答 解：對于函數(shù)f（x）=x²+2a|x|+4a²-3，
∵f（-x）=f（x），∴f（x）為偶函數(shù)，
∴y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，
∴f（0）=4a²-3=0，解得：a=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又由x＞0時，f（x）=x²+2ax+4a²-3，其對稱軸為x=-a，
若函數(shù)f（x）=x²+2a|x|+4a²-3有三個不同的零點，
必有x=-a≥0，故a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（x）=x²-$\sqrt{3}$|x|，如圖示：
，
f（x）的最小值是f（±$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\frac{3}{4}$＜1-$\sqrt{3}$=f（|a|+a+1），
故函數(shù)g（x）=f（x）-f（|a|+a+1）的零點個數(shù)是4個，
故答案為：4．

點評 本題考查了函數(shù)的零點問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．