Question

△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5．P在平面ABC的射影為AB的中點D．
（1）求證：AB與PC不垂直；
（2）當∠APC=60°時，
①求三棱錐P-ABC的體積；
②求二面角P-AC-B的正切值．

Answer 1

分析：（1）連CD，若AB⊥PC，則AB⊥CD，CD是線段AB的垂直平分線，則AC=BC，由此能夠證明AB與PC不垂直．
（2）①由勾股定理，知∠ACB是直角，D是斜邊AB的中點，CD=AD，PA=PC，△PAC為正三角形，由此能夠求出三棱錐P-ABC的體積．
②取AC的中點E，連PE、DE，則∠PED就是所求二面角的平面角，由此能夠求出二面角P-AC-B的正切值．

解答：（1）證明：連CD，若AB⊥PC，則AB⊥CD，
∵CD是線段AB的垂直平分線，∴AC=BC，
這與AC≠BC矛盾．
故AB與PC不垂直．（4分）
（2）解：①由勾股定理，∠ACB是直角，D是斜邊AB的中點，
∴CD=AD，PA=PC，△PAC為正三角形，（6分）
PC=AC=3，CD=

5

2

，PD=

11

2

，
∴VP-ABC=

1

3

×

1

2

×4×3×

11

2

=

11

（8分）
②取AC的中點E，連PE、DE，
則∠PED就是所求二面角的平面角，（10分）
由于DE=2，故所求角的正切值為

11

4

（12分）

點評：本題考查直線不垂直的證明，考查三棱錐體積的求法，考查二面角正切值的求法．解題時要認真審題，仔細解答．