4.如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=4,AD=2,∠BAD=60°,E,F(xiàn)分別為AB,BC上的點(diǎn),且AE=2EB,CF=2FB.
(1)若$\overrightarrow{DE}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$,求x,y的值;
(2)求$\overrightarrow{AB$•$\overrightarrow{DE}$的值;
(3)求cos∠BEF.

分析 (1)利用向量的比例關(guān)系,即可求出x,y的值.
(2)利用(1)的結(jié)果,通過數(shù)量積的運(yùn)算,求解即可.
(3)求出$\overrightarrow{EF}$,通過向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則求解cos∠BEF即可.

解答 解:(1)∴$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$,
∴$x=\frac{2}{3},y=-1$…4
(2)$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AB}•(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})=\frac{2}{3}{\overrightarrow{AB}^2}-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$…6
=$\frac{2}{3}×{4^2}-4×2×\frac{1}{2}=\frac{20}{3}$…10
(3)設(shè)$\overrightarrow{EB},\overrightarrow{EF}$的夾角為θ,
∵$|\overrightarrow{EF}{|^2}=|\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}){|^2}=\frac{28}{9}$,
∴$|\overrightarrow{EF}|=\frac{{2\sqrt{7}}}{3}$…12
又∵$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{EB}={\overrightarrow{EB}^2}+\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{EB}=\frac{16}{9}+\frac{4}{9}=\frac{20}{9}$,$|\overrightarrow{EB}|=\frac{4}{3}$…14
∴$cosθ=\frac{{\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{EF}}}{{|\overrightarrow{EF|}|\overrightarrow{DE}|}}=\frac{{\frac{20}{9}}}{{\frac{{2\sqrt{7}}}{3}×\frac{4}{3}}}=\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$…16

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積,向量共線的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.$\frac{4}{5}$B.$\frac{5}{4}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{5}{3}$

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A.10+2$\sqrt{10}$B.10+$\sqrt{10}$C.10-2$\sqrt{10}$D.10-$\sqrt{10}$

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13.已知圓C與直線y=-x+2$\sqrt{2}$相切,圓心在x軸上,且該圓被直線y=x截得的弦長為4$\sqrt{2}$.
(1)求圓C的方程;
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14.設(shè)0<α<$\frac{π}{2}$,0<β<$\frac{π}{2}$,且sinα=$\frac{1}{3}$,cosβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,求sin(α+β)的值.

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