Question

已知z₁=x²+

x2+1

i，z₂=（x²+a）i，對(duì)于任意x∈R，均有|z₁|＞|z₂|成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)求模

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：由|z₁|＞|z₂|可知，x⁴+x²+1＞（x²+a）²，整理可得（1-2a）x²+（1-a²）＞0對(duì)x∈R恒成立；分1-2a=0與1-2a≠0討論，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵|z₁|＞|z₂|，
∴x⁴+x²+1＞（x²+a）²，
∴（1-2a）x²+（1-a²）＞0對(duì)x∈R恒成立；
當(dāng)1-2a=0，即a=

1

2

時(shí)，不等式成立；
當(dāng)1-2a≠0，即a≠

1

2

時(shí)，

1-2a＞0 -4(1-2a)(1-a2)＜0

，解得-1＜a＜

1

2

；
綜上，a∈（-1，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，著重考查不等式的解法，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．