Question

某公司全年的純利潤為b元，其中一部分作為獎(jiǎng)金發(fā)給n位職工，獎(jiǎng)金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績（工作業(yè)績均不相同）從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎(jiǎng)金

b

n

元，然后將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方案將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金．
（1）設(shè)a_k（1≤k≤n）為第k位職工所得獎(jiǎng)金額，試求a₂、a₃，并用k、n和b表示a_k（不必證明）；
（2）證明：a_k＞a_k+1（k=1，2，…，n-1），并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義；
（3）發(fā)展基金與n和b有關(guān)，記為P_n（b）．對常數(shù)b，當(dāng)n變化時(shí)，求

lim

n→∞

P_n（b）（可用公式

lim

n→∞

（1-

1

n

）ⁿ=

1

e

）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可知a₁進(jìn)而利用余額除以n發(fā)給第2位職工，求得a₂=

1

n

（1-

1

n

）•b，同理可求得a₃．以此類推發(fā)現(xiàn)數(shù)列成等比數(shù)列，公比為1-

1

n

，進(jìn)求得a_k．
（2）根據(jù)（1）中的a_k進(jìn)而代入a_k-a_k+1結(jié)果大于0，由題意可知業(yè)績大的在數(shù)列的前面，且拿的獎(jiǎng)金多，進(jìn)而可判斷出此獎(jiǎng)金分配方案體現(xiàn)了按勞分配的原則．
（3）根據(jù)題意可分別表示出f₁（b），f₂（b），推斷出f_k（b），進(jìn)而利用極限的基本運(yùn)算求得

lim

n→∞

P_n（b）．

解答：（1）解：a₁=

b

n

，a₂=

1

n

（1-

1

n

）•b，a₃=

1

n

（1-

1

n

）²•b，…，a_k=

1

n

（1-

1

n

）^k-1•b．
（2）證明：a_k-a_k+1=

1

n2

（1-

1

n

）^k-1•b＞0，此獎(jiǎng)金分配方案體現(xiàn)了按勞分配的原則．
（3）解：設(shè)f_k（b）表示發(fā)給第k位職工后所剩余額，
則f₁（b）=（1-

1

n

）•b，f₂（b）=（1-

1

n

）²•b，…，f_k（b）=（1-

1

n

）^k•b，
得P_n（b）=f_n（b）=（1-

1

n

）ⁿ•b，
故

lim

n→∞

P_n（b）=

b

e

．

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式和數(shù)列的應(yīng)用．考查了學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力．